天台平桥中学  夏积武

【摘  要】高中学生数学思维存在障碍，对高中学生数学成绩的提高有很大的阻碍作用。为了提高高中数学教学的针对性和实效性，本文就高中学生数学思维障碍的成因及对策进行分析和探讨，以起到抛砖引玉的作用。

【关键词】数学思维  数学思维障碍 成因  对策

思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识高中数学内容的理性活动。高中数学的思维虽然并非总等于解题，但在中学数学教学中，学生的数学思维是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上，一般可以从解题思路中表现出来。然而，现行高中数学教学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课听得很“明白”，但到自己解题时，总感到无从下手，或是一做就错，或是解题往往会而不对，对而不全。这也就使一部分同学丧失了学好数学的信心，原因可能有多方面，但在数学学习中存在着一定的思维障碍是其中最主要原因。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式，这严重地影响了数学思想的确立与数学方法的形成，因此，分析学生学习过程中思维障碍产生的根源及如何矫正，对于高中数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。

一、高中学生数学思维障碍的形成原因分析

    根据布鲁纳的认知发展理论，学习本身是一种认知过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。长期以来，我们都习惯地认为学生的学习是在教师指导下，掌握书本知识、获得间接经验；因而在课堂上教师就把自己的“绝招”、“金点子”不断地传授给学生，课后，老师不断地寻找所谓的“好题”塞给学生，以便学生迅速地掌握知识，而等到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生数学成绩的提高。

二、高中学生数学思维障碍的具体表现

由于高中学生数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中学生数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：

1. 数学思维的差异性形成的思维障碍

由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。在数学命题中，命题者往往利用隐含条件设计一定的“陷阱”。比如：有的条件是题目中明确给出的，而有的条件却隐含在其它已给条件之中；有关的概念、公式、定理的限制条件中；特定的图形中等等…。如果学生对相关知识掌握不准确，考虑问题不严密等毛病都容易形成思维障碍。例：在△ABC中,cosB=3/5, sin( -A) =5/13, 求cosC 的值。在解决这个问题时，错误的主要原因在于没有注意到三角形的内角和必须为180°这个“隐含条件” 。 又如非负实数x，y满足x＋2y=1，求x²＋y²的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。如函数y= f (x)满足f(2＋x)=f(2－x)对任意实数x都成立，证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做(主要反映写不清楚)，我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。

2. 概念的内涵和外延不清形成的思维障碍

由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻地去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。任何一个数学概念都是内涵和外延的统一，我们学习概念，一方面要理解概念的内涵，同时也要明确概念的外延。所谓外延，即概念所涉及的范围和条件。学生弄清概念的内涵和外延是深化对概念的理解，正确运用数学概念解决实际问题的前提条件。如果概念的内涵或外延不清楚，无形之中就会缩小或扩大概念的使用范围，造成这样那样的错误。

例：已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n=pⁿ (p∈R,n∈N+),那么数列{a_n}是(     )

（A）是等比数列                 （B）当p≠0时是等比数列

（C）当p≠0,p≠1时是等比数列   （D）不是等比数列

在复习等比数列时，我拿出这个问题，很多同学都选(C) ，这恰好反映了学生在思维上的肤浅，没有准确理解等比数列的定义。

例：已知实数x、y满足 ，则点P(x , y)所对应的轨迹为（     ）（A）圆      (B)椭圆    (C)双曲线     (D)抛物线。

在复习圆锥曲线时，我拿出这个问题后，学生一着手就简化方程，化简了很长时间还看不出结果就再找自己运算中的错误（怀疑自己算错），而不去仔细研究此式的结构 进而可以看出点P到点（1，3）及直线x＋y＋1=0的距离相等，从而其轨迹为抛物线。

    3 .数学思维定势的消极性形成的思维障碍

学生运用掌握的知识，形成一套切实有效的分析解决问题的推理方式和方法，变成了学生的一种固定的思维模式，这种现象叫思维定势。由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。但这种现象具有双重性，既有积极的作用，又有消极的作用。从正面说，思维定势的形成表明学生不仅掌握了知识，并且也形成了一定的思维推理能力；从反面说，这种思维定势对推理能力的发展和提高也具有一定的阻碍作用。在思维定势的作用下，往往自觉或不自觉地认为某种知识的应用范围是定向的，解决问题的方法是定型的。因此，在面对新的问题情境时，往往跳不出原有的框架，缺乏求异意识。

例：求值lgcot1°·lgcot2°·lgcot3°·…lgcot89°

凭直觉我们可能从问题的结构中去寻求规律性，但这显然是知识经验所产生的负迁移。在这里，我们可以引导学生深入观察，发现题中所显示的规律只是一种迷惑人的假象，并不能帮助解题，突破这种定势的干扰，最终发现出题中的隐含条件lgcot45°=0这个关键点，从而能迅速得出答案。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。

    由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。

三、高中学生数学思维障碍突破的对策

    1.尊重学生数学基础的个体差异，激发学生继续学习的兴趣

数学思维能力的发展，必须通过数学思维活动的主体的思维锻炼来实现．在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的“兴奋灶”，也就能更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。

    例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：

    （1）求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：①y=（x－1）²＋1，②y=（x＋1）²＋1，③y=（x－4）²＋1

    （2）求函数y=x²－2ax＋a²＋2，x∈[0，3]时的最小值。

    （3）求函数y=x²－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

2．重视对数学基本概念的多层面剖析，推动学生思维多层面逐步深入地发展

概念是最基本的思维形式。数学中的命题都是由概念构成的，数学中的推理和证明又是由命题构成的。因此，数学概念的教学是数学知识教学的一个重要环节，由于其本身的复杂性、抽象性，理解和掌握时可将其分解为多个层次，先一层一层地认识，理解每一层次表达的意思，然后再分析和综合各层次间的内在联系，使形成完整的易于掌握的知识成为学生思维的必然。

 例如：对等比数列定义的的教学可以分这样几个层次理解：                                                                                                                                 

⑴一个数列如果不是从第二项而是第三项或第四项起每一项与它前一项的比都是同一常数，此数列不是等比数列，但可以说该数列从第二项或第三项起是等比数列。

⑵一个数列，如果从第二项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但由于常数不同，该数列也不是等比数列。

⑶常数列都是等差数列，但却不一定都是等比数列，这是因为若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列了。这就应当注意，等比数列中的每一项都能作为分母，因此每一项都不能是0,公比也就不可能为0。

⑷证明一个数列是等比数列，其依据是对任意的（n∈N+），n≥2, q

⑸等比数列的各项满足a_n+1²=a_na_n+2,若m+n=p+q,则a_ma_n=a_pa_q;但m+n=p 推不出a_ma_n = a_p

   “层次教学”能引导和帮助学生克服概念不清形成的思维障碍，推动思维多层面逐步深入地发展，使知识和能力不断升华。教师可根据知识结构的繁简和理解程度的难易，把包含在概念内的复杂和隐蔽的内涵及外延，层层剥离，进行多层面的展开，逐级推进和激发，既使教学由表及里，深入清晰地揭示出整体知识的本质和内在的规律，又可训练学生思维的广阔性和深刻性。

3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用

在高中数学教学中，我们应随时注意哪些地方容易形成思维定势，从而及时采取措施加以克服，使学生在面对新的问题情境时，能依据新的信息，及时调整思路，避免走进死胡同的被动局面，使思维过程灵活。为了克服这一影响思维灵活的障碍，人们作了许多有益的探讨.实践表明, 诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

例如：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数 在区间[2 function ImgZoom(Id)//重新设置图片大小 防止撑破表格 { var w = $(Id).width; var m = 550; if(w < m) { return; } else { var h = $(Id).height; $(Id).height = parseInt(h*m/w); $(Id).width = m; } } window.onload = function() { var Imgs = $("content").getElementsByTagName("img"); var i=0; for(;i